天平-湖南学区

《函数的概念（核心概念）》教学设计

上传时间 : 2018年5月10日

18.1 函数的概念

上海市位育初级中学费晓芳

[教学目标]

1、知道数量、变量与常量的意义，并能在具体问题中认识并分清变量和常量；

2、在具体情境中，用运动变化的观点看待事物，理解变化过程中的两个变量之间的相互依存，初步理解函数概念，初步感受变化与对应的思想；

3、在参与变量的发现和函数概念的形成过程，提高观察、概括、分析问题和解决问题的能力；

4、探索实际问题中的数量关系，感受现实生活中函数的普遍性，初步感受函数的应用价值。

教学重点：结合具体实例归纳、概括函数的概念

教学难点：初步理解函数的概念

[教学过程]

一、课题导入——两分钟预备铃观看视频

在刚才的视频中，我们感受到了四季的变化、日出和日落、怒放的花朵、舞蹈中律动的节奏，可见，我们生活在一个充满运动的世界里，万事万物都在不断运动变化着。为了更好地认识世界，改造世界，我们不妨从数学的角度来研究身边的运动。

设计意图：通过观看记录日常生活中的变化过程的视频，让学生感受到自己其实生活在一个充满运动变化的世界，要学会用运动变化的观点去观察事物。而函数正是体现运动变化的基本数学概念，它从数值角度刻画事物变化的过程，表达变量之间的变化联系。

二、创设情境，观察概括

情境1 视频《加油的过程》（观看过程中随意按暂停键）

问题1 在汽车加油的过程中，涉及了哪些量?

此处用体积描述油量，用金额描述汽油的单价和总价。在认识和描述某一事物时，经常会用像时间、面积、速度、温度、长度、体积等来具体表达事物的某些特征（属性），称之为“量”，同时我们用“数”来表示量的大小。数与度量单位合在一起，就是我们常说的“数量”。

问题2 在加油这个变化的过程中，哪几个量发生了改变？哪几个量没有发生改变？

油量和总价一直在不停地变化着，可以取不同的数值，像这样的量叫做变量。而单价一直保持数值不变，是6.51，像这样的量叫做常量。在汽车加油的过程中，汽油的单价是一个常量，始终是6.51，而油量和总价是两个变量，他们不断变化着。为了方便描述，不妨用字母表示变量，用x表示油量即变量x，用y表示总价即变量y。

问题3 在变化的过程中，两个变量总价y和油量x有怎样的联系或规律？

这两个变量之间相互联系，相互影响。当加油量越多时，所花费的总价就越高，也就说变量y是随着变量x的变化而变化。

问题4 在这个变化的过程中，随着变量x取一个值，总价y的值可以确定吗？（在演示过程中，随意按暂停键，取几对数值，用列表呈现）

可见，运动是绝对的，静止是相对的。这样的y值有几个？

当变量x取一个确定的值时，变量y的值也随之唯一地确定。概括而言，这两个变量之间的关系是变而变，定而唯一定。像这样的两个变量之间的关系，描述为变量y与变量x之间存在确定的依赖关系。

设计意图：通过加油站加油时的总价和加油量的直观数据看，可以强烈感受到变化的量、不变的量，以及两个变量之间的相互依存相互变化的关系，并在最后通过几个数据的暂停，感受到随着自变量的确定，因变量也随之唯一确定。

情境2 本班级三位男生100米赛跑的运动过程（随意按暂停键）

问题1 在这个赛跑的过程中，涉及了哪些量，哪些是变量，哪些是常量？

路程是常量，从情境得知，100米跑，路程因此确定，时间和平均速度是变量

问题2 在100米赛跑过程中，时间t和平均速度有着怎样的联系或规律？

在百米跑中，时间随着平均速度的变化而变化，跑得越快则用时越少；跑得越慢，则用间越多。

问题3 如果知道某个学生100米跑的平均速度，他的百米赛跑时间唯一确定，吗？

现在知道生1、生2、生3的平均速度，通过填表，容易看出当变量v取一个确定的值时，变量t的值也随之唯一确定，这两个变量之间也存在确定的依赖关系。

设计意图：通过播放三位学生的录像视频，进一步感受变量之间的相互依存/相互依赖，感受运动变化思想和对应的思想。

情境3 陈艾森在里约奥运会上勇夺10米跳台冠军跳水运动的视频

这是我国跳水健儿陈艾森在里约奥运会上勇夺10米跳台冠军时的场景，下面，从数学的视角来观察这个跳水运动的变化过程。通过慢动作回放，可以发现，在陈艾森完成这个跳水动作的过程中，起跳后的时间在变化，他离水面的高度在变化（手比划），他离开跳台的水平距离也在变化，就有三个变量，这里只研究起跳后的时间变量和离水面的高度变量这两个变量。现在以入水点为坐标原点，起跳后的时间为横轴，他离水面的高度为纵轴，建立一个平面直角坐标系。如果把他的身体抽象成一个点的话，那他完成这套跳水动作的过程的运动轨迹是怎样的？学生所描述的跳水轨迹就是这个图形。

师：如果我们取到图上一个点，这个点的纵坐标表示的是什么？

生：是他的离水高度

师：那这时它的横坐标对应的是什么？

生：起跳后的时间

师：在这个变化过程中，h有没有随着t的变化而变化？

生：有

师：它们之间存在着确定的依赖关系吗？

生：不太确定

师：当我们取定一个t时，能找到唯一确定的h，这时候变量间有没有确定的依赖关系？

生：有

设计意图：学生能够理解生活中离水面的高度随着时间的变化而变化，当时间确定了，离水面的高度也被唯一。课堂上，对于用图像表示的函数关系中，纵坐标的值随着横坐标的值的变化而变化，学生理解起来有困难。于是借助跳水运动，先从生活的视频中感受，再用几何画板把它抽象成抛物线，让学生进一步感受到横坐标和纵坐标之间也存在依赖关系。

三、概括归纳，引出课题

像上述三个情境中，凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数。这节课，研究什么是函数？（引出课题：18.1（1）函数的概念）

问题1 三个情境中的变量有什么范围限制吗？

在汽车加油的过程中，x取20L呢？100L能取满吗？由生活经验得知，加油量x必须满足0≤x≤油箱体积；

百米赛跑中， 0<变量v≤世界纪录。可见，变量是在一个被允许的范围内变化的，所以，两个变量是在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，当变量x取一个确定的值时，y的值随之唯一确定，如果满足上述条件，我们就称：变量ｙ叫做变量ｘ的函数，其中ｘ是自变量，y是因变量，函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。

问题2 三个情境中，哪两个变量是函数关系？谁是自变量和因变量？

问题2变式 加油时，人们有时会说：加200元或300元的油，此时哪两个变量是函数关系？谁是自变量和因变量？为什么？

设计意图：同样是加油，可以按照油量加油，也可以按照金额加油，谁是自变量、谁是因变量由考虑问题的视角而定，不是一成不变的。

问题3 为什么研究函数呢？

师：通过前面的情境，可以发现函数是用来研究两个变量之间的变化规律的一种工具。通过研究两个变量之间的函数关系，人们可以知道因为速度不够，所以跑得慢，就可以针对性地去做一些速度练习。再如，我们知道要取得跳水的高分，其中一项就是要使入水时的水花尽可能小，这就意味着在一定高度时跳水运动员就要完成跳水动作，让自己的身体完全打开，并垂直于水面入水。有了函数这个工具，只要研究离水面高度和起跳时间的变化关系，教练员就可以指导运动员在什么时候完成动作、什么时候打开身体，最终帮助运动员问鼎奖杯。

设计意图：让学生理解为什么要研究函数，目的是研究规律，为生活服务，感受到数学的魅力。

问题4 从数学的角度如何描述函数关系？

（1）在之前的三个变化过程中，通过列表容易发现两个变量之间确定的依赖关系，这种表示方法称为列表法。

（2）用数学式子，如y=6.51x，，这种表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式。

（3）在跳水的过程中，图像也可以描述两个变量之间的函数关系，称为图像法，之后会进一步做具体研究。

四、概念辨析

辨析1：当x取下列值时，求x+2的值

设计意图：求代数式的值也蕴含函数关系，只是需要用运动变化的观点来看问题。这道题设计的目的是在以往的知识中更好地理解函数。师：这就是七年级学习的求代数式的值的问题，对于代数式x+2，给定x的一个值，可以求出这个代数式的一个值。如果x是一个变量，那么，x+2也是一个变量。请问：变量x+2是不是变量x的函数？